Elo reyting sistemi: 400 puan farkı neden %91 beklenti verir

Rakibinden 400 puan yüksek reytingli bir takımın bir karşılaşmadan ne kadar puan beklemesi gerekir? Elo reyting sistemi bu soruya tek bir formülle cevap verir: %90,9. Galibiyet 1, beraberlik 0,5, mağlubiyet 0 sayıldığında 400 puanlık fark, maç başına 0,909 puanlık bir beklentiye karşılık gelir. Sistem bu beklentiyi gerçek sonuçla karşılaştırır ve farkın bir kesrini reytinge ekler ya da çıkarır. Aşağıdaki hesaplar a02.mjs betiğiyle yapıldı; sekiz takımın tamamı kurgusaldır ve gerçek bir ligi temsil etmez.

Elo reyting sistemi iki formülden oluşur

Birinci formül beklenen skoru verir. A takımının reytingi R_A, B takımının R_B ise A'nın beklenen skoru E_A = 1 / (1 + 10^((R_B − R_A) / 400)) olur. İkinci formül güncellemedir: yeni reyting = eski reyting + K × (gerçekleşen skor − beklenen skor). K, her maçın reytingi ne kadar oynatacağını belirleyen sabittir.

Ölçek sabittir ama keyfidir: her 400 puanlık fark, iki tarafın beklenen skorları arasındaki oranı 10 katına çıkarır. 400 puanda 0,909 / 0,091 = 10, 800 puanda oran 100 olur. Tablo rating farkından beklenen skora geçişi gösterir; son sütun güçlü tarafın beklentisinin zayıfınkine oranıdır.

Eğrinin biçimi, sistemin ilk sezgisini verir: fark büyüdükçe beklenti %100'e yaklaşır ama oraya varmaz. 800 puanlık fark bile %99,0 beklenti üretir. Bu yüzden çok zayıf bir takıma karşı beklenen galibiyet, reytinge neredeyse hiçbir şey eklemez.

Bir güncellemenin içi

A takımı 1.500, B takımı 1.650 reytinglidir ve K = 20 alınmıştır. A'nın beklenen skoru %29,7 çıkar. Üç olası sonuç reytingi şöyle oynatır:

Tablo sade bir kuralı gösterir: güncelleme iki yönlü ve toplamı sıfırdır. A'nın kaybettiği puan B'ye geçer, A'nın kazandığı puan B'den gelir. Bu yüzden ligdeki tüm takımların reyting ortalaması, başlangıçtaki değerde kalır. Favorinin beklenen galibiyeti küçük bir değişim üretir, sürprizse büyük bir değişim: A galip geldiğinde 14,1 puan kazanır, B ise aynı farkı kaybeder.

400 ve K nereden geliyor

400 sayısı bir ölçek seçimidir. Arpad Elo'nun satranç için geliştirdiği sistemde 400 puanlık fark, beklenen skorda 10'a 1 oranı demektir; bu değer başka bir ölçekle de seçilebilirdi. K ise sporun kendisine göre değişir. FIDE'nin satranç düzenlemeleri K değerini oyuncuya göre üç kademede tanımlar: yeni oyuncular için ilk 30 maça kadar 40, reytingi 2400'ün altında kalanlar için 20, bir kez 2400'e ulaşanlar için 10. Futbolda K için böyle tek bir standart yoktur; her sıralama kendi değerini ve ek kurallarını seçer. FIFA 10 Haziran 2018'de erkekler sıralaması için Elo temelli bir yöntemi benimsedi ve ilk liste Ağustos 2018'de yayımlandı; yöntem satranç Elo'sunun birebir kopyası sayılmaz.

K seçimi bir ödünleşimdir. Küçük K, tek bir maçın etkisini küçültür ve reytingi yavaş değiştirir. Büyük K, yeni sonuçlara hızlı yanıt verir ama şansın payını da hızla reytinge taşır. Hangisinin doğru olduğu, takımların gerçek gücünün ne kadar hızlı değiştiği varsayımına bağlıdır.

Sekiz kurgusal takımla altı sezon

Deney şöyle kuruldu. Sekiz takımın gerçek güçleri 1.350 ile 1.640 arasında sabit bir reyting olarak belirlendi; ortalama 1.500. Sistem bu değerleri bilmez, her takımla 1.500'den başlar. Çift devreli bir fikstürde her takım sezon başına 14 maç oynar ve sonuçlar gerçek güçlerden, beraberlik olasılığı yaklaşık %26 sabit tutularak üretilir. Ev sahibi avantajı 60 puan olarak eklendi. Altı sezon boyunca 84 tur oynandı ve tohum 20261104'ten türetildi. Aşağıdaki tabloda K = 20 ile çalışan bir koşunun sonu görülüyor:

Her takım 84 maç oynadı; yine de en büyük sapma 68 puana ulaştı ve sekiz takımın yalnızca 1 tanesi gerçek sırasındaydı. Ardışık güçler arasında 30 ile 60 puan fark bulunduğunda, 84 maçlık bir örneklem komşu takımların sırasını kararlı biçimde ayırmaya yetmez.

K katsayısı ve reytingin gerçek güce yaklaşması

Tek bir koşu yeterli kanıt sayılmaz. Aynı deney 2.000 bağımsız tekrarla ve beş farklı K değeriyle çalıştırıldı. Tabloda hata ölçüsü, reytingin gerçek güçten ortalama kök sapmasıdır; başlangıçta, yani hiçbir maç oynanmamışken bu ölçü 89 puandır.

Üç sonuç okunuyor. Birincisi, tek bir sezon sonunda hata başlangıç değerinin (89) çok altına inmiyor; en iyi durumda bile 56 puana kadar düşüyor. Elo reyting sistemi hızlı bir ölçüm aracı sayılmaz. İkincisi, K = 5 altı sezon sonunda bile 51 puan hatada kalıyor; bu değer K = 20 ile 33, K = 10 ile 34 oluyor. Üçüncüsü, büyük K her maçta reytingi sert oynatıyor: K = 80 ile maç başına ortalama hareket 28,2 puana çıkıyor ve altı sezon sonunda hata 70 ile K = 20'nin iki katından fazla. Sabit güçlerin bulunduğu bu kurulumda en düşük hata K = 10 ile K = 20 arasında görüldü (34 ve 33 puan). Takımların gücü zamanla değişiyorsa en iyi değer yukarı kayar ve deney bunu göstermez.

Ev sahibi avantajını bilmeden güncelleyen sistem de aynı deneyle sınandı. Fikstür ev ve deplasmanı dengeli dağıttığı için fark küçük kaldı: ortalama hata, avantajı bilen sistemde 32,5, bilmeyen sistemde 32,8 puan oldu. Dengesiz fikstürlerde bu sonuç geçerli kalmaz.

Reytingin söylemediği şeyler

Reyting tek bir sayıdır ve kendi belirsizliğini taşımaz. Reytingleri 40 puan farklı iki takımdan güçlü olanın beklentisi %55,7 düzeyindedir; yukarıdaki deneyde böyle komşu takımlar kolayca yer değiştirdi. Doğru sıralanan takım çiftlerinin oranı K = 20 ile bir sezon sonunda %81, altı sezon sonunda %92 oldu. Başka bir deyişle 28 takım çiftinden ortalama 2,2 tanesi altı sezonluk veriyle bile ters okunuyor.

Sistemin diğer sınırları da yapısaldır. Reyting güçleri tek bir eksende sıralar; A'yı yenen B'yi yenen C'nin A'yı da yenmesi gerektiği varsayılır. Beraberlik tek bir sabit değerle 0,5 sayılır. Gol farkı, ek kural eklenmedikçe hesaba girmez. Poisson modelinin takım başına iki ortalama kullandığı yerde Elo tek bir sayı kullanır; iki yaklaşımın nasıl farklılaştığını Poisson gol dağılımı yazısındaki skor matrisi ile karşılaştırmak mümkündür. Sıralamanın ne kadar kararlı olduğu ise Monte Carlo simülasyonu yazısında 10.000 sezonla ölçülür.

Deneyin kuralları ve kaynaklar

Gerçek güçler ve sonuçlar kurgusaldır; sonuçlar, beklenen skor formülüyle tutarlı üretilir, yani sistem kendi varsayımına uyan veriyle sınanmıştır. Gerçek verinin bu kadar düzenli olmayacağı açıktır. Bu yayın Betroy ile ilişkilidir; yazıdaki sayılar bir bahis önerisi ya da gerçek bir takımın reytingi değildir.

• FIDE derecelendirme düzenlemeleri, K katsayısı kademeleri (satranç için; FIDE belge arşivi ve düzenleme metinleri, 4 Kasım 2026'da taranan sonuçlar).
• FIFA Konseyi'nin 10 Haziran 2018 tarihli kararı ve Ağustos 2018'de yayımlanan ilk liste: FIFA Men's World Ranking, Wikipedia özeti.
• Elo, A. (1978). The Rating of Chessplayers, Past and Present. Arco.

Sık sorulan sorular

Elo reyting sistemi futbolda satrançtaki gibi mi çalışır?

Temel formül aynıdır; ayrıntılar farklıdır. K değeri, ev sahibi avantajı ve gol farkı gibi kurallar sistemden sisteme değişir. FIFA'nın 2018'de benimsediği yöntem satranç Elo'sunun birebir kopyası sayılmaz.

K katsayısı neden önemli?

K, tek bir maçın reytingi ne kadar oynattığını belirler. Yazıdaki kurgusal deneyde K = 5 ile reyting yavaş yaklaştı, K = 80 ile gürültüde kaldı; en düşük hata 10 ile 20 arasında görüldü.

400 puanlık fark neden 0,909 beklenti verir?

Formülde 10^(-400/400) = 0,1 olur ve 1 / (1 + 0,1) = 0,909 bulunur; yani güçlü takım maç başına yaklaşık 0,91 puan beklenir.