Ortalamaya dönüş: sezonun ilk yarısı ikinci yarıyı neden vermez

İlk yarıyı ilk üçte tamamlayan bir takım, ikinci yarıda üstünlüğünün ne kadarını koruyor? Kurgusal bir ligde 5.000 sezonluk simülasyon şu cevabı verdi: üçte ikisini. Puan ortalamasının lig ortalamasından sapmasının %65 kadarı ikinci yarıya taşındı, %35 kadarı kayboldu. Kaybolan kısım takımın kötüleşmesinden gelmiyor; ilk yarıdaki şansın ikinci yarıda tekrar gelmemesinden kaynaklanıyor. İstatistikte bu olguya ortalamaya dönüş denir ve spordaki "ilk yarının şampiyonu ikinci yarıda düştü" türü yorumların çoğunun arkasında bu mekanizma vardır. Yazıdaki simülasyon a05.mjs betiğiyle çalıştırıldı; takımlar kurgusaldır.

Ortalamaya dönüş nedir ve ne anlatır

Bir ölçüm hem gerçek bir niteliği hem de şansı taşıyorsa, uç değerlerin ardından gelen ölçüm ortalamaya yaklaşır. Francis Galton bunu 1886'da boy verisinde gösterdi: çok uzun anne babaların çocukları ortalamadan uzundu ama anne babalarından daha az uzundu; Galton olguya "ortalamaya doğru gerileme" (regression towards mediocrity) adını verdi. Mekanizma boya özgü olmadığı gibi genetiğe de özgü değildir; ölçümde şans payı bulunan her yerde işler.

İki ölçüm aynı dağılımdan geliyorsa dönüşün büyüklüğü tek bir sayıya iner. İlk ölçümdeki ortalamadan sapma x ise ikinci ölçümdeki beklenen sapma ρ × x olur; ρ, iki ölçüm arasındaki korelasyondur. ρ = 1 ise hiçbir dönüş yoktur çünkü ölçümde şans yoktur. ρ = 0 ise tam dönüş vardır, çünkü ilk ölçüm ikinciyi hiç öngörmez. Gerçek durumlar bu iki uç arasında bir yerdedir ve simülasyon o noktayı sayıyla verir.

Kurulum: yirmi takım, iki devre, bilinmeyen güçler

Her simüle sezonda 20 takıma, ortalaması sıfır ve standart sapması 0,22 olan normal dağılımdan bir güç değeri çekildi; değer takımın gol oranını log ölçeğinde etkiler. Takımlar bu değeri bilmez, gözlemci de bilmez. Her çift iki kez eşleşir: ilk devrede 190 maç, ikinci devrede ev sahipliği tersine çevrilmiş 190 maç oynanır. Goller Poisson gol dağılımı yazısındaki gibi çekilir ve galibiyet 3, beraberlik 1 puandır. İlk devrenin sonunda takımlar puana göre sıralanır ve ikinci devredeki puanlarıyla karşılaştırılır. Tüm süreç 5.000 kez tekrarlandı.

Gerçek bir ligde takımların gücü zamanla değişir. Burada değişmez; bu seçim bilinçlidir, çünkü gücün sabit olduğu ideal koşulda bile dönüşün ne kadar büyük çıktığını görmek istiyoruz.

İlk yarının en iyi üçü ikinci yarıda

Tablo, ilk yarının sonundaki sıraya göre üç grubu karşılaştırıyor. Değerler maç başına puandır; "korunan pay", ikinci yarıda lig ortalamasına göre kalan üstünlüğün (ya da açığın) ilk yarıdakine oranıdır. Lig ortalaması maç başına 1,39 puandır.

İlk üçteki takımlar ilk yarıda maç başına 2,11 puan topladı, ikinci yarıda 1,86. Son üçtekiler ise 0,69 puandan 0,93 puana yükseldi. İki uçta da kaybolan pay yaklaşık üçte bir. İlk yarının lideri, sezonların %61 kadarında şampiyon oldu; yine de ikinci yarıdaki ortalama sırası 3,9 çıktı. Liderlerin yalnızca %60 kadarı ikinci yarıda ilk üçte kaldı. Birinci yarının ilk üç takımından ortalama 2,13 tanesi sezonu da ilk üçte kapattı.

İki yarı arasındaki korelasyon şans payını verir

Simülasyonda takımların gerçek gücünü biliyoruz, ama gerçek hayatta bilmeyiz. Bu durumda şans payını ölçmenin yolu, aynı takımların iki bağımsız dönemini karşılaştırmaktır. İlk yarı ile ikinci yarı puanları arasındaki korelasyon 0,65 çıktı; ikinci yarıyı ilk yarıdan öngören doğrunun eğimi de 0,65 oldu. Aynı sayı iki işe yarıyor: korelasyon, ilk yarıdaki puan farklarının ne kadarının kalıcı güçten geldiğini (%65) ve ne kadarının şanstan geldiğini (%35) söyler; eğim ise dönüşün büyüklüğüdür.

Tam sezon, iki yarının toplamıdır ve iki katı maç içerir. Spearman-Brown düzeltmesiyle tam sezon puanlarının güvenilirliği 0,79 bulunur; yani şans payı %21 düzeyine iner. Maç sayısı arttıkça şans payı azalır ama sıfırlanmaz: 38 maçlık bir sezon sonunda bile puan tablosundaki farkların beşte biri şanstır.

Güç farkı daraldıkça şans payı büyür

Korelasyon, takımlar arasındaki gerçek farkın büyüklüğüne bağlıdır. Aynı deney, güç farkının üç ayrı büyüklüğü için tekrarlandı: 0,10, 0,22 ve 0,35. Tablo her biri için ilk yarı puanlarının standart sapmasını, iki yarı arasındaki korelasyonu ve şans payını gösteriyor.

Takımlar birbirine yaklaştığında puan tablosu şansı daha fazla yansıtır: σ = 0,10 iken iki yarı arasındaki korelasyon yalnızca 0,29, şans payı %71; σ = 0,35 iken 0,81 ve %19. Michael Mauboussin'in The Success Equation kitabında bu fikir "beceri paradoksu" adıyla geçer: oyuncuların becerisi birbirine yaklaştıkça sonuçları belirleyen şeyin ağırlığı şansa kayar. Buradaki simülasyon o iddiayı doğrudan sınamıyor, yalnızca aynı yönde bir sonuç gösteriyor; asıl sorun σ'nın gerçek bir ligde ne olduğunu bilmemektir ve bu değer buradan çıkarılamaz.

Dönüşü açıklama sanmak

Simülasyonda hiçbir takım "düzelmedi" ya da "çöktü": güçler baştan sona sabit. Yine de son üçteki takımların ikinci yarı puanı ilk yarıdakinden yüksek çıktı. Gerçek bir ligde aynı yükseliş, teknik direktör değişikliğinin ya da bir transferin sonucu gibi görünebilir. Dönüşün payı ayrıştırılmadan bu iki açıklamayı ayırmak mümkün değildir; ayrıştırmanın tek yolu, müdahale edilen takımla benzer durumdaki ama müdahale edilmeyen takımları karşılaştırmaktır.

Dönüş bir ortalamadır ve her takım için geçerli olmaz. İlk üçte yer alan takımların %27 kadarı ikinci yarıda ilk yarıdan daha yüksek maç başı puan topladı; son üçtekilerin %27 kadarı ise ilk yarıdan daha düşük puan topladı. Bir ortalamanın doğrulanması, tek bir takımın davranışı hakkında bir kural vermez.

İki sınır daha var. Birincisi, kurgusal ligde takımların gücü sabittir; gerçek liglerde yaralanmalar ve transferler gücü zamanla oynatır ve bu, ilk yarıdan ikinci yarıya taşınan payı daha da düşürebilir. İkincisi, yukarıdaki oranlar 0,22'lik bir güç farkına bağlıdır. Dönüşün gerçek bir ligdeki büyüklüğü, gerçek verilerle ve bu denklemle ölçülmelidir. Bir takımın sonuç dizisinde şansın payını görmek için gereken örneklem büyüklüğü ise örneklem büyüklüğü yazısında bir bahisçi örneği üzerinden hesaplanır. Sıralamanın bütün sezon boyunca ne kadar oynak kaldığı da Monte Carlo simülasyonu yazısında 10.000 sezonla ölçülüyor. Bu yayın Betroy ile ilişkilidir ve yazıdaki sayılar gerçek bir takımın tahmini ya da bir bahis önerisi değildir.

Kurgunun parametreleri ve kaynaklar

Güçler sezon başına bir kez, N(0; 0,22²) dağılımından çekilir ve ortalaması sıfıra sabitlenir. Ev sahibi avantajı log ölçeğinde 0,20, taban gol oranı 0,22'dir. Betik her çalıştırmada tohum 20261104'ten aynı sonucu üretir.

• Galton, F. (1886). Regression towards mediocrity in hereditary stature. Journal of the Anthropological Institute, 15, 246-263. JSTOR
• Mauboussin, M. J. (2012). The Success Equation: Untangling Skill and Luck in Business, Sports, and Investing. Harvard Business Review Press.

Sık sorulan sorular

Ortalamaya dönüş takımın kötüleştiği anlamına mı gelir?

Hayır. Yazıdaki simülasyonda takımların gücü sabit; ilk yarıdaki şans tekrar etmediği için ikinci yarı puanı ortalamaya yaklaşıyor.

Ortalamaya dönüşün büyüklüğünü ne belirler?

İki dönem arasındaki korelasyon belirler. Kurgusal ligde 0,65 çıktı; takımlar birbirine yaklaştıkça korelasyon düşer ve dönüş büyür.

Tam bir sezonda şans payı ne kadardır?

Spearman-Brown düzeltmesiyle simüle edilen ligde yaklaşık %21; yarı sezonda %35. Maç sayısı arttıkça şans payı azalır ama sıfırlanmaz.