Kayıp serisi ne kadar uzun sürebilir: 100 ve 1.000 denemede en uzun seri

Kazanma olasılığı yarı yarıya olan bir oyunun 100 denemesinde en az bir kez art arda beş kayıp görme olasılığı %81,0. Yani bir kayıp serisi tuhaf bir olay sayılmaz; beş ve üzeri ardışık kayıp, 100 denemelik her beş dizinin yaklaşık dördünde bir noktada ortaya çıkar. Sekiz ve üzeri ardışık kayıp %17,0, on ve üzeri %4,4 olasılıkla ortaya çıkar. Aşağıdaki sayılar tam bir olasılık hesabından ve 200.000 dizilik bir simülasyondan geliyor; betik a06.mjs adını taşır ve kullanılan tohum 20261104'tür. Hesap bir oyun stratejisi önermez: seri uzunluğunun şans altında nasıl dağıldığını gösterir.

Kayıp serisi nasıl hesaplanır

Bağımsız denemelerde her denemenin kayıp olasılığı q ise n denemede en az k ardışık kayıp olasılığı, bir durum makinesiyle bulunur. Durum, "şu anda kaç kayıp üst üste"dir ve 0'dan k − 1'e kadar değer alır. Her denemede kayıp gelirse durum bir artar, kazanç gelirse sıfıra döner; durum k'ye ulaşırsa dizi "k'lık seriyi gördü" diye işaretlenir. Bu hesap formül yerine bir döngüdür ve n kadar adım ister:

function pAtLeast(n, q, k) {
  let st = new Float64Array(k); st[0] = 1; let hit = 0;
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    const nx = new Float64Array(k); let win = 0;
    for (let s = 0; s < k; s++) {
      const pr = st[s]; win += pr * (1 - q);
      if (s + 1 === k) hit += pr * q; else nx[s + 1] += pr * q;
    }
    nx[0] += win; st = nx;
  }
  return hit;
}

Hesabın doğruluğunu kontrol etmek için 200.000 kurgusal dizi de üretildi. 100 denemelik dizilerin %81,0 kadarında en az beş ardışık kayıp bulundu; tam hesapla aynı sayı. En uzun serinin ortalaması simülasyonda 5,99, tam hesapta 5,99 çıktı.

100 denemede en uzun seri

Tablo, kazanma olasılığına göre 100 denemelik bir dizinin en uzun kayıp serisini gösteriyor. Kazanma olasılığı düştükçe seri hızla uzuyor: yüzde 50'de en uzun seri ortalama 6, yüzde 10'da ise yaklaşık 27 deneme.

Seri sayısı da sezgiden büyüktür. Kazanma olasılığı yarı yarıya olan 100 denemelik bir dizide ortalama 6,19 tane üç ya da daha uzun, 1,52 tane beş ya da daha uzun kayıp serisi bulunur; yani ortalama bir dizide en az bir beşli seri kalır ve üçlü seriler birden fazladır. Uzun serilerin tek seferlik bir talihsizlik gibi hatırlanması, bunların aslında sıradan olması gerçeğini değiştirmez.

Kazanma olasılığı %30 olan bir oyunda 100 denemede ortalama en uzun kayıp serisi 10,7 bulunur; medyan 10'dur ve en az beş ardışık kayıp yaşama olasılığı neredeyse kesindir. Kazanma olasılığı %10 olduğunda ortalama 26,9, medyan 25 olur. Bu oyunlarda uzun seri istisna değil, düzen sayılır.

Deneme sayısı arttıkça seri yavaş uzar

Dizi uzadıkça en uzun seri de uzar, ama deneme sayısının logaritması hızıyla. Kazanma olasılığı yarı yarıya olduğunda deneme sayısı on katına çıkınca en uzun seri ortalama 3,3 adım kadar uzar. 100 denemede ortalama 5,99 olan değer, 1.000 denemede 9,30, 10.000 denemede 12,62 olur.

Yaklaşık formül log₂(n) − 2/3'tür. Mark Schilling'in 1990 tarihli makalesine dayanan ikincil kaynaklarda bu yaklaşım yazılıyor; makalenin tam metni bu çalışmada okunmadı. Tam hesapla karşılaştırma yaklaşımı doğruluyor: 100 denemede fark 0,01, 1.000 denemede 0,00 çıkıyor. Yalnızca çok kısa dizilerde, 10 denemede, fark 0,14'e çıkıyor.

1.000 denemelik bir dizide en az 10 ardışık kayıp görme olasılığı %39, en az 15 ardışık kayıp görme olasılığı %1,5 çıkıyor. 10.000 denemede 15 ve üzeri bir seri %14 olasılıkla bulunur. Deneme sayısı yüz katına çıktığında seri uzunluğu yalnızca yaklaşık iki katına çıkıyor: 5,99 değerinden 12,62 değerine.

Seriden sonra sıra gelmez

Uzun bir kayıp serisinin ardından kazanma olasılığı artmaz. Bağımsız denemelerde her deneme kendi olasılığıyla çalışır ve oyunun bir "borcu" yoktur. Tversky ve Kahneman, insanların küçük örneklemlerin bile uzun dönem oranını yansıtmasını beklediğini "küçük sayılar yasasına inanç" adıyla tanımladı (1971); kısa dizilerde dengeyi bekleyen sezgi, kayıp serisinden sonra "sıranın geldiği" düşüncesinin kaynağıdır.

Bu sezgiyi veriyle sınamak şaşırtıcı bir sonuç veriyor. Simülasyondaki 200.000 dizide, 100 denemelik her dizi içinde 3 kayıptan sonra gelen denemelerin kazanma oranı ayrı ayrı hesaplandı ve dizilerin ortalaması alındı. Sonuç %54,0 çıktı: dizi başına bakıldığında 3 kayıptan sonra kazanç, sanki daha olası görünüyor. Aynı 2.426.486 denemeyi tek bir havuzda birleştirince oran %50,0 oluyor ve yarı yarıya olan gerçek olasılık geri geliyor.

Fark, bir dizinin içinden seçilen gözlemlerin ağırlığından geliyor. Uzun bir kayıp serisi içeren dizi çok sayıda "seriden sonra" gözlemi üretir ve bu gözlemlerin çoğu kayıptır, çünkü seri uzamaktadır. Dizi başına ortalama alınırken bu dizi, yalnızca tek gözlemi olan bir diziyle aynı ağırlığı taşır; kayıp ağırlıklı diziler hafife alınır ve ortalama kazanç tarafına kayar. Havuzlanmış oran her gözleme eşit ağırlık verdiği için bu kayma oluşmaz. Joshua Miller ile Adam Sanjurjo benzer bir yanlılığı 2018 tarihli Econometrica makalelerinde gösterdi ve basketboldaki "sıcak el" tartışmasının klasik çalışmasının bu yanlılıktan etkilendiğini savundu. Buradaki hesap bu ölçüm hatasına bir örnek sunuyor; sıcak elin gerçek olup olmadığı konusunda bir şey söylemiyor.

Serinin söylemediği şeyler

Hesabın tek varsayımı bağımsızlıktır. Gerçek oyunlarda ve gerçek maç dizilerinde denemeler tam bağımsız olmayabilir: form, yaralanma ve takvim ardışık sonuçları birbirine bağlayabilir. Bağımsızlık varsayımının hangi hesaplarda tutup hangilerinde tutmadığı bağımsız olaylar yazısında aynı maçtaki iki olay üzerinden ele alınıyor. Dizinin sonucunda şans ile beceriyi ayırmak için kaç deneme gerektiği ise örneklem büyüklüğü yazısındaki hesabın konusudur.

Bu yazının bir sınırı daha var: hesap, uzun serilerin sık olduğunu gösterir ama bir serinin ne zaman biteceğini söylemez. Kayıp serisi sırasında hesap bütçesinin dışına çıkmak ya da kaybı geri almaya çalışmak, bu hesabın gösterdiği olasılık yapısının yanlış okunmasıdır. Oyun kontrolden çıkıyorsa Yeşilay Danışmanlık Merkezi'nin (YEDAM) 115 numaralı hattı ücretsiz ve gizli destek veriyor. İçerik 18 yaş ve üzeri içindir. Bu yayın Betroy ile ilişkilidir; sayılar bir bahis önerisi değildir.

Betiğin yaptığı ve kaynaklar

Tam hesap, durum makinesiyle n = 10'dan 10.000'e kadar her deneme sayısı için çalıştırıldı. Simülasyon 100 denemelik 200.000 dizi üretir. Sonuçlar tohumla yeniden üretilebilir.

• Tversky, A., Kahneman, D. (1971). Belief in the law of small numbers. Psychological Bulletin, 76(2), 105-110. doi:10.1037/h0031322
• Miller, J. B., Sanjurjo, A. (2018). Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers. Econometrica, 86(6), 2019-2047. doi:10.3982/ECTA14943
• Schilling, M. F. (1990). The longest run of heads. The College Mathematics Journal, 21(3), 196-207 (ikincil kaynaklardan aktarıldı).