Poisson gol dağılımı: 1,6 ve 1,1 ortalamayla bir maçın skor haritası

Ev sahibinin maç başına 1,6, konuğun 1,1 gol attığı kurgusal bir karşılaşmada 0-0 biten maçın olasılığı %6,7, 1-1 biten maçın olasılığı %11,8 çıkar. İkisi de aynı formülden gelir: Poisson gol dağılımı. Formül tek bir sayıya, beklenen gol ortalamasına yaslanır; ortalama bilindiğinde her skorun olasılığı bir çarpma işlemine iner. Hesaplar ve simülasyon a01.mjs betiğinden üretildi. Takımlar kurgusaldır, 1,6 ile 1,1 yöntemi göstermek için seçilmiş örnek değerlerdir ve gerçek bir kulübün ortalamasını temsil etmez.

Tek formül, iki ortalama

Poisson dağılımı, sabit bir hızla ve birbirinden bağımsız gerçekleşen olayların sayısını modeller. Ortalaması λ olan bir değişkenin tam k kez gerçekleşme olasılığı e^(−λ) × λ^k / k! ifadesidir. Gol sayısına uygulandığında λ, takımın o maç için beklenen gol sayısı olur.

Ev sahibi için λ = 1,6 alındığında sıfır gol olasılığı e^(−1,6) = %20,2 çıkar. Bir gol olasılığı bunun 1,6 katı olan %32,3, iki gol olasılığı ise %32,3 değerinin 1,6/2 ile çarpımı olan %25,8 olur. Konuk için λ = 1,1 ile aynı adımlar %33,3, %36,6 ve %20,1 verir. Her yeni gol sayısı, bir öncekinin λ/k ile çarpılmasıyla bulunur; bu yüzden dağılım ortalamanın biraz üstünde tepe yapar ve sağa doğru uzayan bir kuyruk bırakır.

Dağılımın bir özelliği yöntemin merkezindedir: ortalama ile varyans aynı sayıdır. Ev sahibi için varyans 1,6, standart sapma yaklaşık 1,26 gol çıkar. Bir takımın "maç başına 1,6 gol" ortalaması bu yüzden her maçta bir ya da iki gol anlamına gelmez; sıfır gol atma olasılığı %20,2 ile her beş maçtan birinin üstündedir.

Skor matrisi: 36 hücrenin okunması

İki takımın golü birbirinden bağımsız kabul edilirse bir skorun olasılığı iki olasılığın çarpımıdır. Örnek olarak 2-1 için P(ev = 2) × P(konuk = 1) = %25,8 × %36,6 = %9,5 bulunur. Aşağıdaki tablo 0'dan 5'e kadar bütün skorları gösterir; satırlar ev sahibinin, sütunlar konuğun golüdür ve değerler yüzdedir.

Altı gole kadar uzanan 36 hücre toplamda %99,3 olasılığı kapsar. Kalan %0,7, bir tarafın altı ya da daha fazla gol attığı skorlara aittir. En olası skor 1-1 ve olasılığı %11,8; yani maçların %88,2 kadarı bu skordan başka bir yerde biter. Matris en olası skoru gösterir, ama en olası skor bile çoğu zaman gerçekleşmeyen skordur.

Matristen 1/X/2 ve gol çizgileri

Hücreler gruplanarak maç sonucu ve gol çizgisi olasılıkları bulunur. Ev sahibi galibiyeti köşegenin altındaki hücrelerin, beraberlik köşegenin, konuk galibiyeti köşegenin üstündeki hücrelerin toplamıdır. Toplam gol sayısı da Poisson dağılır; ortalaması 1,6 + 1,1 = 2,7 olan bir değişkendir ve 2,5 gol üstü olasılığı üç gol ve üstü anlamına gelir.

Kodun doğru yazıldığını görmek için tohum 20261104 ile 200.000 kurgusal maç üretildi. Simülasyonda ev galibiyeti %48,8, beraberlik %24,9, konuk galibiyeti %26,3 çıktı; formülle en büyük fark 0,15 puan. Simülasyon formülü kanıtlamaz, yalnızca iki ayrı yoldan aynı sayıya varıldığını gösterir. Matristeki toplamı veren döngü şu kadardır:

const pois = (k, lam) => Math.exp(-lam) * lam ** k / fact(k);
let home = 0, draw = 0, away = 0;
for (let i = 0; i <= 15; i++) for (let j = 0; j <= 15; j++) {
  const p = pois(i, 1.6) * pois(j, 1.1);
  if (i > j) home += p; else if (i === j) draw += p; else away += p;
}

Poisson gol dağılımı hangi varsayımlara yaslanır

Modelin üç varsayımı var. Birincisi, λ'nın maç boyunca sabit olması: oysa öne geçen takım oyununu değiştirir, kırmızı kart ortalamayı oynatır. İkincisi, gol olaylarının birbirinden bağımsız olması: bir golün ardından gelen golün olasılığı, öncekinden etkilenmez. Üçüncüsü, iki takımın golünün birbirinden bağımsız sayılması. Gerçek maçlar bu üç koşula tam uymaz.

Maher (1982), bağımsız Poisson modelinin 1973-1975 sezonlarının on iki ligine makul biçimde uyduğunu, küçük sistematik sapmaların kaldığını ve skorlar arasında yaklaşık 0,2 düzeyinde bir korelasyon alan çift değişkenli modelin uyumu iyileştirdiğini bildirdi. Dixon ve Coles (1997) ise Poisson regresyonunu temel alan bir model kurdu ve takım güçlerinin zamanla değiştiğini hesaba kattı; ikincil kaynaklar düşük skorlar için ayrı bir düzeltme eklediğini de aktarıyor. Üç çalışmanın bağlantıları yazının sonundaki kaynak listesindedir.

Takım başına Poisson görünmesi ile lig genelinde Poisson görünmesi aynı şey sayılmaz. Kurgusal bir ligde 20 takım için λ değerleri 0,8 ile 2,4 arasına yayıldı ve her takım için 38 maç üretildi. Her takımın golü kendi içinde Poisson'dur; yine de 760 gözlem tek havuzda toplandığında ortalama 1,58, varyans 1,86 çıktı ve dağılma oranı 1,18 oldu. Takımlar arası fark havuza fazladan değişkenlik katıyor. Havuzlanmış gol sayısına bakıp "Poisson uymuyor" demek, ayrı ayrı takımlara bakıldığında yanlış sonuç olabilir.

Beraberlik hesabı: ortak bileşenli varyant

İki takımın golü arasında pozitif bir bağımlılık varsa beraberlik olasılığı yükselir. En basit ifade, iki takımın da payına düşen ortak bir Poisson bileşeni eklemektir: ev golü X1 + X3, konuk golü Y2 + X3 olur. Marjinal ortalamalar 1,6 ve 1,1 kalsın diye λ1 = 1,4, λ2 = 0,9 ve λ3 = 0,2 alındı. İki takımın golü arasındaki korelasyon bu durumda 0,15 olur. Çift değişkenli Poisson modellerinin spor verisine uygulanışı Karlis ve Ntzoufras (2003) çalışmasında anlatılır.

Ortak bileşen, beraberliğin olasılığını 2,3 puan artırıyor; tablodaki öteki satırlar bunun karşılığında küçülüyor. λ3 = 0,2 de kurgusal bir seçimdir: gerçek bir ligde bu parametre veriden tahmin edilir ve o tahminin kendi belirsizliği vardır.

Ortalamayı oynatınca ne olur

Poisson matrisinin çıktısı, içine konan ortalamalara tamamen bağlıdır. Konuk ortalaması 1,1'de sabitken ev sahibi ortalaması değiştirildiğinde sonuç dağılımı şöyle kayar:

Ev sahibi ortalaması 1,3'ten 1,6'ya çıkınca ev galibiyeti %41,1 düzeyinden %49,0 düzeyine geçer; 0,3 gollük bir fark, galibiyet olasılığında 7,9 puan eder. Asıl sorun, 1,6'nın kendisinin bir tahmin olmasıdır. Bir takımın ortalaması 20 maçtan hesaplandıysa Poisson varsayımı altında standart hatası √(1,6 / 20) = 0,28 gol olur. %95 aralığı 1,05 ile 2,15 arasına düşer ve bu aralığın iki ucunda ev galibiyeti olasılığı %33,8 ile %61,4 arasında oynar. Matris tek bir sayı verir, ama o sayının arkasındaki girdi belirsizliğini göstermez.

Poisson gol dağılımı bu yüzden bir tahmin makinesi gibi okunmamalıdır. Bir ortalamanın ne anlama geldiğini, bağımsızlık varsayımının hangi sayıyı değiştirdiğini ve girdinin ne kadar oynak olduğunu görmek için iyi bir araçtır. Aynı çıkarım Elo gibi puanlama sistemleri için de geçerlidir: Elo reyting sistemi bir takımın gücünü tek bir sayıya sıkıştırır ve o sayının nasıl oynadığı ayrı bir hesap gerektirir. İki olayın aynı maçtan geldiği durumlarda olasılıkların neden çarpılamadığı bağımsız olaylar yazısında, bu matristen yola çıkılarak hesaplanır.

Hesabın dayandığı kaynaklar

Hesaplar JavaScript ile yazıldı, tohum 20261104'tür. Matris 16 x 16 hücreye kadar uzatıldı ve kalan kuyruk ihmal edilebilir düzeydedir. Tüm takımlar, ortalamalar ve ortak bileşen parametresi kurgusaldır. Bu yayın Betroy ile ilişkilidir; yazıdaki hiçbir sayı bir bahis önerisi ya da gerçek bir maçın tahmini değildir.

• Maher, M. J. (1982). Modelling association football scores. Statistica Neerlandica, 36(3), 109-118. doi:10.1111/j.1467-9574.1982.tb00782.x
• Dixon, M. J., Coles, S. G. (1997). Modelling association football scores and inefficiencies in the football betting market. Journal of the Royal Statistical Society: Series C, 46(2), 265-280. doi:10.1111/1467-9876.00065
• Karlis, D., Ntzoufras, I. (2003). Analysis of sports data by using bivariate Poisson models. The Statistician, 52(3), 381-393. JSTOR