Veri görselleştirme yanılgıları: aynı rakamlar üç grafikte üç hikâye
Maç başı gol ortalaması %5,4 arttı; kesik eksenli grafik bunu üç kat gösteriyor. Veri görselleştirme yanılgıları yalan çarpanıyla hesaplanıyor.
Kurgusal bir takımın maç başına gol ortalaması 10 sezonda 1,49 düzeyinden 1,57 düzeyine çıktı; bu, %5,4 oranında bir artıştır. Aynı on rakam bir grafikte %89 oranında, bir başkasında %200 oranında artış gibi görünebilir. Veri görselleştirme bir rakam dizisini okunur kılar ve aynı anda bir yorum seçer; seçilen yorumun verinin söylediğinden ne kadar uzaklaştığı ise ölçülebilir. Yazıdaki grafikler ve hesaplar a09.mjs betiğinden üretildi, tohum 20261104'tür. Takım kurgusaldır, rakamlar yöntemi göstermek için üretilmiştir.
Veri görselleştirme ve kesik eksen: gösterilen etki büyür
Ana veri on sezonluk bir seridir. Tablo, maç başı gol ortalamasını ve 38 maçlık sezonlarla hesaplanan kümülatif golü gösteriyor.
| Sezon | Maç başı gol | Kümülatif gol |
|---|---|---|
| 1 | 1,49 | 57 |
| 2 | 1,55 | 116 |
| 3 | 1,55 | 174 |
| 4 | 1,56 | 234 |
| 5 | 1,56 | 293 |
| 6 | 1,60 | 354 |
| 7 | 1,57 | 413 |
| 8 | 1,61 | 475 |
| 9 | 1,59 | 535 |
| 10 | 1,57 | 595 |
İlk sezondan sonuncuya artış %5,4 ve 9 geçişin 3 tanesinde ortalama düştü. Bu serinin çubuk grafiği (kapak görselindeki A ve B panelleri), dikey eksenin nereden başladığına göre çok farklı bir hikâye anlatır. Edward Tufte'nin 1983 tarihli kitabında tanımladığı "yalan çarpanı", grafikte gösterilen etkinin verideki etkiye oranıdır: çarpan 1 ise grafik veriyi dürüstçe yansıtır, 1'in üstünde ise büyütür. Çubukların yüksekliği eksen başlangıcından ölçülür; bu yüzden eksen sıfırdan başlamazsa ilk ve son çubuğun oranı gerçek oranı değiştirir.
| Eksen başlangıcı | Çubuk yüksekliğiyle gösterilen artış | Yalan çarpanı |
|---|---|---|
| 0,00 | %5 | 1,0 |
| 1,20 | %28 | 5,1 |
| 1,40 | %89 | 16,6 |
| 1,45 | %200 | 37,2 |
Eksen 1,40'tan başladığında son çubuk ilkinden %89 uzun görünür ve yalan çarpanı 16,6 olur; 1,45'ten başladığında artış %200 gösterilir ve çarpan 37,2 olur. Gerçek artış hiç değişmedi. Tufte aynı kitapta çizgi grafiklerin sıfırdan başlamak zorunda olmadığını da savunur; kural bu yüzden çubuk grafikler için sert, çizgi grafikler için gevşektir. Çubuğun yüksekliği değeri temsil eder, çizginin eğimi ise değişimi.
Kümülatif çizgi dalgalanmayı siler
Kapak görselindeki C paneli aynı seriyi kümülatif toplam olarak çiziyor. Toplam her zaman artar, çünkü her sezon pozitif gol getirir; çizgi on sezon boyunca yükselir ve 595 değerine ulaşır. Oysa sezonların 3 geçişinde maç başı ortalama düştü ve çizgide bunun izi yoktur. Kümülatif grafik büyüme hissi verir ve bu, veri görselleştirme açısından en sık yapılan seçimlerden biridir, çünkü toplam yalnızca artan terimlerden oluşur. Sezon başı gol ortalamasının dalgalanması ya da bir düşüş trendi bu çizgide seçilemez; aynı veri için bir fark grafiği ya da ortalama çizgisi çok daha fazla bilgi taşır.
Kümülatif grafikler bir çizginin eğimini okumaya da zorlar. Eğim sabit görünse bile her sezonun üretimi değişmiş olabilir. Bunu görmek için kümülatif eğrinin üzerine, ilk sezonun ortalamasıyla çizilen bir doğrunun eklenmesi yeterlidir; doğrudan okunan eğim, değişimin kendisini ele verir.
Dürüst görünüm: değişim ve belirsizlik
Aynı seri için daha az yanıltan bir görünüm, sezondan sezona değişimi ve eğilimin belirsizliğini birlikte gösterir. Ardışık sezonlar arasındaki değişim (sezon 2'den 10'a) şöyledir:
| Sezon 2 | Sezon 3 | Sezon 4 | Sezon 5 | Sezon 6 | Sezon 7 | Sezon 8 | Sezon 9 | Sezon 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| +0,06 | +0,00 | +0,01 | +0,00 | +0,04 | −0,03 | +0,04 | −0,02 | −0,02 |
Ortalama mutlak değişim sezon başına 0,024 gol; on sezonluk toplam artış (0,08 gol) bunun yaklaşık üç katıdır. Doğrusal eğilim sezon başına 0,008 gol, standart hatası 0,003 ve sekiz serbestlik dereceli t dağılımına göre %95 güven aralığı 0,002 ile 0,014 arasındadır (t = 3,2). Aralık sıfırı içermiyor; yani artış rastlantıdan ayırt edilebiliyor. Yine de alt uçla üst uç arasında yedi kat fark var ve artışın büyüklüğü belirsiz kalıyor. Sağlam bir veri görselleştirme çizgiye bu aralığı da ekler: okuyucuya "artış var" demekle yetinmez, "artış var ama büyüklüğü bu aralıkta" der.
İki eksenli grafik, ilişkisiz iki seri
Çift eksenli grafikte iki seri ayrı ölçeklerle aynı alana çizilir. Her seri kendi minimum ve maksimumuna göre uzatıldığında, bağımsız iki seri bile birbirine benzer görünebilir. Bunu sınamak için 20.000 çift bağımsız rastgele yürüyüş (her biri 10 adım) üretildi ve aralarındaki korelasyon hesaplandı. Sonuçlar şöyle: mutlak korelasyonun medyanı 0,44, 90. yüzdeliği 0,80. Korelasyonu 0,7 ya da daha yüksek çıkan çiftlerin oranı %21. Aynı sayıda bağımsız gürültü serisinde (rastgele yürüyüş yerine) bu oran %2,5 kaldı.
Zaman içinde birikerek ilerleyen serilerde yüksek korelasyon sıradandır. Çift eksen bu görüntüyü güçlendirir: iki seriyi aynı yükseklikte tutmak için eksenlerin ayrı ayrı ayarlanması gerekir ve bu ayar görsel benzerliği üretir. Şekil 2'deki çift korelasyonu 0,91 olan tesadüfi bir örnektir; seçim etkisi kasıtlıdır ve yalnızca bu görüntünün ne kadar ikna edici olabildiğini göstermek için yapılmıştır.
Anscombe dörtlüsü: özet istatistik şekli saklar
Francis Anscombe 1973'te The American Statistician dergisinde dört küçük veri seti yayımladı. Her biri on bir (x, y) noktasından oluşur ve dördünün de ortalamaları, varyansları, korelasyonu ve regresyon doğrusu hemen hemen aynıdır; grafikleri ise çok farklıdır. Aşağıdaki özet, betikte bu dört setten yeniden hesaplandı.
| Veri seti | x ortalaması | y ortalaması | x varyansı | y varyansı | Korelasyon | Regresyon |
|---|---|---|---|---|---|---|
| I | 9,0 | 7,50 | 11,0 | 4,13 | 0,816 | y = 3,00 + 0,500x |
| II | 9,0 | 7,50 | 11,0 | 4,13 | 0,816 | y = 3,00 + 0,500x |
| III | 9,0 | 7,50 | 11,0 | 4,12 | 0,816 | y = 3,00 + 0,500x |
| IV | 9,0 | 7,50 | 11,0 | 4,12 | 0,817 | y = 3,00 + 0,500x |
Dört satır neredeyse aynı: y ortalaması 7,50, korelasyon 0,816, doğru y = 3,00 + 0,50x. Yalnızca özet sayılara bakan biri dört seti aynı sanır. Grafik ise ayrımı hemen gösterir: ilk set doğrusal bir bulutu, ikincisi bir eğriyi, üçüncüsü tek bir uç değerin çektiği doğruyu, dördüncüsü ise tek bir etkili noktanın belirlediği dikey bir yığını gösterir.
Anscombe'un makalesinin amacı, sayısal hesapların kesin, grafiklerin ise kaba olduğu inancına karşı çıkmaktı. Bu yazının ilk bölümü ise karşı yönü gösterdi: grafik de kesin olabilir, ama yanlış ölçekle çizildiğinde yanlış bir kesinlik sunar. İkisi birbirini tamamlıyor; özet istatistik grafikle, grafik özet istatistikle sınanmalıdır.
Bir grafiğe güvenmeden önce
Beş soru çoğu yanıltmayı yakalar. Eksen nereden başlıyor ve çubuk grafik mi çizgi grafik mi? Rakam kümülatif mi yoksa dönem başına mı? İki eksen varsa, iki serinin ölçeği ayrı ayrı mı ayarlandı? Örneklem kaç kişi ya da kaç maçtan oluşuyor (örneklem büyüklüğü bu soruyu ayrıntılı ele alır)? Birleştirilen verilerde ağırlıklar eşit mi, Simpson paradoksu bunun neden önemli olduğunu gösterir? Bu yayın Betroy ile ilişkilidir ve yazıdaki seriler kurgusaldır; hiçbiri bir bahis önerisi ya da gerçek bir takımın verisi değildir.
Kaynaklar ve veri notu
Ana seri tohumlu bir üreticiyle oluşturuldu: sezon başına taban 1,50, yıllık 0,012 eğim ve 0,04 standart sapmalı gürültü. Anscombe veri setlerinin on bir noktası makaleden alındı ve betikte yeniden hesaplanarak doğrulandı.
- Anscombe, F. J. (1973). Graphs in statistical analysis. The American Statistician, 27(1), 17-21.
- Tufte, E. R. (1983). The Visual Display of Quantitative Information. Graphics Press (yalan çarpanı ve eksen tartışması ikincil kaynaklardan aktarıldı).